Восстановление функции электронной плотности

Работа заключалась в изучении зависимости качества восстановления данных из разложения Фурье от количества и набора используемых гармоник ряда.

Задание функции ЭП

Скрипт смоделировал распределение электронной плотности для двух молекул (одна состоит из 3х атомов, другая из 2х). График электронной плотности представлен на рис.1.

Координаты и ЭП атомов:
12.8 - 40,
11.5 - 30,
6.5 - 40,
4.3 - 2,
3 - 30.

Результат работы скрипта можно увидеть здесь.

Рисунок 1. Смоделированная электронная плотность двух молекул. По Х - координаты (Å), по Y - амплитуда ЭП

Разложение ЭП в ряд Фурье

Скрипт раскладывает ЭП в ряд Фурье. Помимо полного набора гармоник, я так же разложила полный набор гармоник в ряд Фурье с различными уровнями шума (5%, 10% и 20%).

Разложение полной функции в ряд Фурье без шума здесь.

С шумом 5% по фазе и амплитуде здесь.

С шумом 10% -- здесь.

С шумом 20% -- здесь.

Фильтрация гармоник

Для исследования зависимости качества восстановления функции ЭП от набора гармоник разложения Фурье, были использованы следующие наборы:

Также было исследовано влияние шума:

Восстановление ЭП по гармоникам

Восстановление ЭП по набору гармоник (обратное преобразование Фурье) проводилось скриптом.

Результаты и выводы

Все описанные результаты относятся к большим атомам с ЭП 30-40 у.е. В моей модели есть аналог атома водорода - атом с ЭП около 2х, который при любом шуме или при любом удалении гармоник перестаёт быть различимым. Именно из-за него оценка качества восстановления ЭП в итоговой таблице в каждой графе снижается на один пункт.

Полные наборы гармоник

Восстановление по полному набору гармоник без шума идентично исходной функции. На уровне шума 5% добавляются флуктуации, но определить расположение атомов все равно можно безошибочно. На уровнях шума 10% и 20% появляются пики, которые могут быть приняты за небольшие атомы, но основные атомы всё равно видны. Я бы сказала, что на этих уровнях шума со строением молекул можно ошибиться (рис.2).

а

б

в

г

Рисунок 2. Восстановление функции ЭП из полного набора гармоник. а. Полный набор гармоник без шумов. б. Шум 5%. в. Шум 10%. г. Шум 20%

Усеченные наборы гармоник

При выпадении первых двух гармоник, картина портится сильно, но восстановить структуру всё-таки можно (рис.3). При выпадении десяти начальных гармоник появляется множество лишних пиков, которые с легкостью могут быть приняты за атомы. По такому графику восстановить структуру молекулы невозможно. Выпадение гармоник из середины (хоть и большого числа!) практически не повлияло на качество картинки, добавились только незначительные флуктуации. Судя по этим результатам, самые важные гармоники - начальные.

а

б

в

Рисунок 3. Восстановление функции ЭП из неполных наборов гармоник. а. Набор без двух первых гармоник. б. Выпадение между n0 и n10. в. 10% гармоник из середины убрано.

Полные результаты собраны в Таблице 1.

Набор гармоник	Разрешение (Å)	Полнота данных (%)	Шум амплитуды (% от величины F)	Шум фазы (% от величины phi)	Качество восстановления
Полный набор гармоник
0-498 (полный)	0.06	100	0	0	Отличное
0-498 (полный)	0.06	100	5	5	Хорошее
0-498 (полный)	0.06	100	10	10	Среднее
0-498 (полный)	0.06	100	20	20	Среднее
Усеченный с начала набор гармоник
2-498	-	98	0	0	Среднее
0, 10-498	-	98	0	0	Среднее
Удаление гармоник из середины
0-40,50-80,82-100, 110-190,200-225, 226-270,280-320, 321-333,346-380, 390-498	-	90	0	0	Хорошее