Восстановление функции электронной плотности

Задачи

Цель данной работы заключается в исследовании качества восстановления функции ЭП от одной переменной в зависимости от того, какие и сколько гармоник ряда Фурье используются для ее восстановления.

Задание включает следующие этапы:

• Создание модельной функции ЭП в одномерной элементарной ячейке;
• Расчет параметров сигнала, моделирующих экспериментальные данные: амплитуды и фазы;
• Восстановление функции ЭП по модельным ("экспериментальным") данным;
• Оценка качества восстановления функции ЭП.

Создание модели и задание функции

Рис. 1. График электронной плотности модели.

Коэффициенты Фурье

Восстановление ЭП

Полный набор гармоник

Рис. 2. График восстановленной электронной плотности модели.

n0 = 1	n0 = 10	n0 = 20
n0 = 25	n0 = 30	n0 = 40

Рис. 3. Разные функции ЭП при разном числе гармоник.

Из рис. 3. видно, что отличное восстановление (когда мы можем определить все положения максимумов) достигается при n0 = 40 .

Шум

После к полному набору был добавлен шум , графики функции ЭП представлены на рис. 4.

10% к амплитуде	10% к фазе	5% к обоим
20% к амплитуде	20% к фазе	10% к обоим
50% к амплитуде	50% к фазе	25% к обоим

Рис. 4. Разные функции ЭП при разном шуме. Сплошная линия - изначальная функция, пунктирная - с шумом.

При добавлении небольшого количество шума (10% к фазе или 10% к амплитуде или 5% туда и туда) сохраняет хорошее восстановление. Если добавить чуть больше, то уже восстановление станет средним, а если больше, то оно уже станет плохим. Также стоит заметить что шум в фазе вносит большую погрешность, что возвращает нас к фазовой проблеме.

Неполный набор

Далее при помощи все тех же скриптов были получены неполные наборы гармоник.

1 - 40 гармоники	2 - 40 гармоники	3 - 40 гармоники
0 - 18 гармоники	23 - 40 гармоники	0 - 40 гармоники + ещё одна

Рис. 5. Разные функции ЭП при разном количестве гармоник. Сплошная линия - изначальная функция, пунктирная - с шумом.

Проанализировав рис. 5, можно сделать следующие выводы:

• При удалении первой гармонике происходит сдвиг вдоль OY - объясняется тем, что мы удаляем F0 - который константа
• При удаление первым двух выкидается константа F0 и синусоида с самым большим периодом
• При удалении первых трех выкидывает константа F0, синусоида с самым большим периодом и синусоида с перодом в два раза меньше
• При удалении гармоник в середине набора точность гораздо ухудшилось - значит важны гармоники в основном из середины набора
• При добавлении ещё одной гармоники картинка не изменилась

Определение разрешения

Разрешение полного набора гармоник равно 0.75 Å (30 Å / 41 гармонику). Таблица с конечной информации по восстановлению ЭП представлена ниже.