#pragma css /css/2010.css <<BI>> = Как анализировать качество восстановления функции по коэффициентам ряда Фурье = === Задание функции === '''Модель для компьютерного эксперимента.''' На отрезке `[0,30]` (ангстремы) расположены две молекулы. Атомы в молекуле связаны ковалентно и находятся на расстоянии `1-1.5` анстрем друг от друга. Молекулы расположены на расстоянии `3-5` ангстрем (водородная связь или гидрофобное взаимодействие между ними). Всего 4-5 атомов (2+2 или 2+3; возможны другие варианты). Электронные плотности (ЭП) атомов описываются гауссовой кривой. Максимум ЭП в центре атома приблизительно пропорционален числу электронов в атоме. Берите разные атомы. Как построить функцию ЭП на отрезке `[0,30]` для этой модели описано [[http://kodomo.fbb.msu.ru/wiki/2010/7/3D_bioinformatics/task1/script_help | здесь]]. === Задача === Восстановить функцию ЭП по данным о амплитудах и фазах части ее гармоник Фурье. Амплитуды и фазы набора гармоник считаются полученными из экспериментов. === Определения, пояснения === * Набор гармоник ряда Фурье называется ''полным'', если известны все гармоники с номерами `0, 1, 2, ...,n`. * ''Разрешением'' полного набора гармоник называется период гармоники с номером `n`, т.е. с наибольшим номером. Период гармоники равен расстоянию между соседними максимумами синусоиды; его также называют длиной волны этой гармоники, хотя никакой физической волны нет. * Зависимость длины волны гармоники от номера: * `0` -- гармоника есть константа, длины волны нет * `1` -- длина волны равна длине отрезка `T` ; в наших заданиях `T = 30` (ангстрем) * `2` -- --- " --- `T/2` (`15` ангстрем в заданиях) * `3` -- --- " --- `T/3` (`10` ангстрем в заданиях) * ............... * `n` -- --- " --- `T/n` (`30/n` ангстрем в заданиях) * Если разрешение полного набора гармоник равно `d` (ангстрем), то на восстановленной функции неразличимы детали размера меньше чем `d/2`, имеющиеся на графике исходной функции (проверьте по результатам выполнения задания) * В эксперименте все коэффициенты ряда Фурье получаются с ошибкой. Кроме того, не все до последнего номера `n` удается измерить. * Для неполного набора данных нет строгого определения разрешения. Кроме разрешения `d` необходимо сообщить ''полноту данных'' --- процент гармоник с длиной волны БОЛЬШЕЙ `d` от максимально возможного, присутствующих в наборе. Для полного набора данных (разрешение `d=T/n`) полнота равна 100%. === Как сравнить восстановленную функцию с исходной === * '''Отличное восстановление''' -- по графику восстановленной функции можно определить положение максимума всех гауссовых слагаемых функции ("атомов") * '''Хорошее восстановление''' -- можно угадать положение всех максимумов, зная число слагаемых ("атомов"), хотя на восстановленной функции максимумы от атомов не отличимы от шума * '''Среднее восстановление''' -- положение каких-то атомов определить по восстановленной функции нельзя, других - можно * '''Плохое восстановление''' -- положение атомов определить не представляется возможным; можно только предсказать примерный размер "молекулы" Можете привлечь коллегу: покажите график восстановленной функции, не показывая графика исходной, и попросите определить положение атомов. === План работы === Полные наборы гармоник 1. Постройте график восстановленной функции по полному набору гармоник с `n = 0, 1, ...`. Найдите `n_0` при котором восстановление отличное. Документируйте результат, приведя графики для 3-4х `n`, включая `n_0`, и заполнив строчки [[http://kodomo.fbb.msu.ru/FBB/year_10/term7/3D/table1.docx|таблицы 1]] в протоколе <Last_name>_skills.docx, раздел "Ряд Фурье". 2. Добавьте шум к амплитудам и фазам при восстановлении по полному набору гармоник `0,...,n_0`. Оцените качество восстановления в зависимости от шума, 2-3 результата внесите в протокол (картинки и табл.1) Неполные наборы гармоник 3.#3 Удалите одну-две начальные гармоники (номер `0`, номера `0-1` и т.п. Документируйте результат в протоколе. 4. Удалите 5-10% гармоник из середины набора. Результаты документируйте. 5. Добавьте одну гармонику с номером, превышающим `n_0` на `10`. Результаты документируйте. 6. Заполните графы "Разрешение" и "Полнота данных" для выбранного разрешения так, как считали бы нужным по результатам компьютерных экспериментов. 7. Предложите правило как определять разрешение для набора гармоник Фурье, по которым восстанавливается функция. 8. Прокомментируйте полученные результаты.