Разложение функции в ряд Фурье

Рисунок 1. Одномерная функция электронной плотности
для двух молекул по 3 и 2 атома
С помощью скрипта compile-func.py была смоделирована функция электронной плотности для двух молекул из трех и двух атомов, находящихся на расстоянии 3 Å (Рис. 1).

Скрипт был запущен со следующими параметрами:

30,3,9+20,3.2,10.2+10,3,11.5+25,3.1,15.5+45,3,17

Они представляют собой сумму 5 Гауссовых функций, где в каждом слагаемом первое из трех чисел отражает величину пика, второе - ширину, а третье - точку максимума для каждого пика.

При помощи скрипта func2fourier.py функция была разложена в ряд Фурье. Был получен файл func_ft.txt, содержащий значения амплитуды (F) и фазы (phi) для 499 гармоник, дающих при суммировании исходную функцию.

Далее требовалось найти минимальное число гармоник, по которым можно было бы достаточно точно восстановить исходную функцию электронной плотности. Для этого были использованы скрипты fourier-filter.py (для отбора гармоник) и fourier2func.py (для восстановления функции по отобранным гармоникам).

На рисунке 2 показаны результаты восстановления функции по разным количествам гармоник (от 0 до 55).
Рисунок 2. Восстановление функции электронной плотности по разному числу гармоник

По первым 10 гармоникам можно определить только примерное расположение двух молекул. Количество и положение атомов в молекулах начинает прослеживаться, начиная с 15-20 гармоник. По достижении 30 гармоник все вышеперечисленные параметры уже определяются однозначно, однако еще присутствует видимый шум. Поэтому в качестве минимального количества гармоник, необходимого для отличного восстановления функции электронной плотности было выбрано N=40.

Влияние шумов в параметрах гармоники на восстановление функции электронной плотности

Для набора из первых 40 гармоник был исследован эффект внесения гауссовских шумов в амплитуды (F) и фазы (P). Были использованы различные уровни зашумления (10% и 30%). Полученные результаты представлены на рисунке 3.

Рисунок 3. Восстановление функции электронной плотности по 40 гармоникам с различными параметрами зашумления

Зашумлении в 10% как по фазе, так и по амплитуде, не дает существенного искажения функции электронной плотности. Положения молекул и составляющие их атомы по-прежнему определяются однозначно. При зашумлении в 30% в обоих случаях появляется большое количесво лишних пиков, которые могли бы быть восприняты как сигнал, нарушаются высоты истинных пиков. При комбинации параметров зашумления (F=30, P=10 и F=10, P=30) становится заметным, что в большей степени искажает вид функции зашумление по фазе.

Восстановление функции электронной плотности по неполному набору гармоник

Из полного набора в 40 гармоник были выбраны различные подмножества, и по ним было проведено восстановление функции электронной плотности. Сначала удалялись начальные гармоники (подмножества 1-40; 2-40; 5-40), затем гармоники из середины множества (подмножества 0-10, 30-40; 0-15, 25-40; 0-18, 24-40), затем было взято по 6 гармоник из каждой части множества (0-5, 22-27, 35-40), затем одна шестерка из середины (18-23) и, наконец, все 40 гармоник с добавлением еще одной гармоники под номером 50. Полученные графики изображены на рисунке 4.

Рисунок 4. Восстановление функции электронной плотности по различным наборам гармоник

Первая гармоника в сущности является свободным членом в ряде Фурье, поэтому ее удаление ожидаемо приводит к сдвигу графика по оси OY, а в остальном значимо не влияет на репрезентативность функции. На графике с удаленой второй гармоникой начинает появляться видимый шум, однако он все еще не мешает точно определить положения атомов. Удаление 5 гармоник приводит к появлению шума, который уже начинает конкурировать с самым слабым из сигналов (третий атом первой молекулы).

Удаление гармоник из середины искажает точность восстановления значительно серьезнее. По графикам можно определить положение молекул, но отдельные атомы определяются не однозначно.

При использовании по 6 гармоник из начала, середины и конца наблюдается несколько более четкое совпадение истинных и предсказанных пиков, однако предполагаемая область расположения молекул размазывается.

По 6 гармоникам из середины нормально восстановить функцию не удается вовсе.

Добавление в конец еще одной гармоники добавляет некие периодические шумы, но значимо на качество восстановления не влияет.

Сводная таблица по результатам практикума представлена в файле .