1. Задание функции
Модель компьютерного эксперимента представляет собой отрезок [0,30] ангстрем. 2 молекулы (3+1 атомов). Атомы в молекуле связаны ковалентной связью, расположены на расстоянии 1,5 ангстрема. Между молекулами расстояние 5 ангстрем. Электронные плотности атомов описываются гауссовой кривой, т.ч. максимум ЭП в центре атома приблизительно пропорционален числу электронов в атоме.Все скрипты, используемые в данном задании лежат в этой папке.
С помощью скрипта compile-func.py была создана функция:
python compile-func.py -g 41,3.2,14.5+21,3.7,17.5+31.0,3.2,20+10,2,10
получен файл func.txt с координатами точек. На рисунке ниже представлено изображение смоделированной функции:
python func2fourier.py func.txt
В результате был получен файл func_ft.txt, содержащий 498 гармоник.
На следующем шаге был смоделирован этап восстановления функции ЭП по набору гармоник. Для этого были взяты первые 10,20,30,40,50 гармоник и для каждой восстановлена исходная ЭП. Перебор осуществлялся с помощью скрипта на языке bash. Восстановленные функции в данной папке. Результаты восстановления приведены ниже. Пунктиром обозначены восстановленная функция, сплошной линией - исходная. Видно, что начиная с 30-ой гармоники восставновление пиков происходит довольно точно, и шум остается только между пиками. Таким образом, можно заключить, что гармоники высоких порядков определяют шум между пиками.
 
 |
 
 |
 
 |
Такого рода симуляция соответсвует иделаьным результатам эксперимента, когда все гармоники померяны правильно. На практике измерение всегда сопровождается какой-либо ошибкой. Чтобы симулировать реальные экспериментальные данные к амплитудам и фазам был добавлен искусственный шум 25% (python func2fourier.py func.txt -F 25 -P 25). Полученные результаты приведены в <а href='с шумом/'>папке, визуализация представлена ниже. Видно, что шум, вносимый в фазу, сильнее отражается на качестве восстановления, чем шум, вносимый в амплитуды.
|
|
 | |
Последним этапом "экспериметов" стало восстановление функици по неполным наборам гармоник. С помощью скрипта на языке bash был осуществлен перебор наборов из 10-ти гаромоник. Результаты приведены в <а href='шаги гармоник/'>папке, визуализация представлена ниже. Из полученных данных можно сделать вывод, что первые гармоники наиболе важны для правильного восстановления функции. Видно, что по перым и по вторым 10-ти гармоникам в общем и целом можно восстановить положение атомов, хотя их амплитуда сильно искажена. Дальше же восстановение не представляется возможным: много низкоамплитудных пиков, неотличимых от среднего шума.
 
|
 
|
Результаты по качеству восстановления функции ЭП из различных рассмотренных наборов гармоник приведены в таблице. Для сравнения восстановленной функции с исходной использовались следующие "критерии качества":
Отличное восстановление — по графику восстановленной функции можно определить положение максимума всех гауссовых слагаемых функции ("атомов");
Хорошее восстановление — можно угадать положение всех максимумов, зная число слагаемых ("атомов"), хотя на восстановленной функции максимумы от атомов не отличимы от шума;
Среднее восстановление — положение каких-то атомов определить по восстановленной функции нельзя, других - можно;
Плохое восстановление — положение атомов определить не представляется возможным; можно только предсказать примерный размер "молекулы".
Полнота набора гармоник определяется как % гармоник (k штук) от полного числа гармоник (от 0 до n-й), разрешение - как длина отрезка/номер последней гармоники.