Вычисление атомных орбиталей водорода¶
In [18]:
import numpy as np
import scipy.special
import scipy.misc
import time
import math
Цель занятия: опираясь на уравнение, построить электронную плотность в одноэлектронном атоме и сравнить с известными программами. Нам понадобится функция от Андрея Демкив, ее уже импортировали.
In [19]:
def npy2cube(grid, start, step, cube_f):
bohr_to_angs = 0.529177210859 # const
start = [x / bohr_to_angs for x in start]
step = [x / bohr_to_angs for x in step]
with open(cube_f, 'w') as cube_file:
cube_file.write('CPMD CUBE FILE.\n'
'OUTER LOOP: X, MIDDLE LOOP: Y, INNER LOOP: Z\n')
cube_file.write(" 1 %f %f %f\n" % (start[0], start[1], start[2]))
cube_file.write(" %i %f 0.000000 0.000000\n" %
(grid.shape[0], step[0]))
cube_file.write(" %i 0.000000 %f 0.000000\n" %
(grid.shape[1], step[1]))
cube_file.write(" %i 0.000000 0.000000 %f\n" %
(grid.shape[2], step[2]))
cube_file.write(" 1 0.000000 %f %f %f\n" %
(start[0], start[1], start[2]))
i = 0
for grid_item in np.nditer(grid, order='C'):
if i < 5:
cube_file.write('%f ' % (float(grid_item)))
i += 1
elif i == 5:
cube_file.write('%f\n' % (float(grid_item)))
i = 0
In [20]:
#задаем волновую функцию
#на вход подаем квантовые числа n, l, m, d
def w(n,l,m,d):
x,y,z = np.mgrid[-d:d:30j,-d:d:30j,-d:d:30j]
#переходим к сферическим координатам
r = lambda x,y,z: np.sqrt(x**2+y**2+z**2)
theta = lambda x,y,z: np.arccos(z/r(x,y,z))
phi = lambda x,y,z: np.arctan2(y, x) + math.pi
#Задаем боровский радиус (расстояние от ядра до ближайшей орбиты электрона) = 1
a0 = 1.
#Прописываем радиальную функцию R (зависящую от n, l и r) (genlaguerre - подсчет полинома Лагерра)
R = lambda r,n,l: (2*r/n/a0)**l * np.exp(-r/n/a0) * scipy.special.genlaguerre(n-l-1,2*l+1)(2*r/n/a0)
#Нормировочный коэффициент
norm = lambda n,l: np.sqrt((2/n/a0)**3 * math.factorial(n-l-1)/(2*n*math.factorial(n+l)))
#Итоговая волновая функция (sph_harm – подсчет сферической гармоники)
WF = lambda r,theta,phi,n,l,m: R(r,n,l) * scipy.special.sph_harm(m,l,phi,theta)
#Итоговая плотность вероятности WF будет высчитываться как квадрат модуля
#Опираясь на опыт людей, уже выполнявших этот практикум, было решено выводить сумму действительной и мнимой частей WF
result = WF(r(x,y,z),theta(x,y,z),phi(x,y,z),n,l,m)
return np.real(result) + np.imag(result)
In [21]:
#Для каждого главного числа n от 1 до 3 перебираем орбитальные числа l от 0 до n-1,
#и для них перебираем магнитные m от -l до l
#Для каждой тройки таких чисел применяем скрипт
for n in range(1, 4):
d = 10 * n
step = d / 10
for l in range(0, n):
for m in range(-l, l+1):
grid = w(n, l, m, d)
name = f'{n}_{l}_{m}'
npy2cube(grid, (-d,-d,-d), (step,step,step), f'{name}.cube')
Попробуем посмотреть на полученные cube объекты в Pymol.
In [5]:
import __main__
__main__.pymol_argv = [ 'pymol', '-x' ]
import pymol
pymol.finish_launching()
from pymol import cmd,stored
In [22]:
cmd.reinitialize()
#Зададим цвет орбиталей
cmd.volume_ramp_new('ramp007', [
-0.015, 1.00, 0.00, 0.00, 0.00,
-0.01, 0.60, 2.00, 1.00, 0.20,
-0.005, 0.10, 0.50, 1.00, 0.00,
0.005, 0.50, 0.20, 0.50, 0.00,
0.01, 0.30, 1.00, 1.00, 0.50,
0.015, 1.00, 1.00, 2.00, 0.00])
#Для каждого главного числа n от 1 до 3 перебираем орбитальные числа l от 0 до n-1, и для них перебираем магнитные m от -l до l
#Для каждой тройки таких чисел загружаем соответствующий файл cube, визуализируем его (либо срез, либо поверхность) и сохраняем
for n in range(1, 4):
for l in range(0, n):
for m in range(-l, l+1):
name = f'{n}_{l}_{m}'
cmd.load(f'{name}.cube')
cmd.volume(f'{name}-vol', name, ramp='ramp007')
cmd.hide()
cmd.show('volume', f'{name}-vol')
cmd.reset()
cmd.turn('x', 90)
cmd.clip('slab', 0)
time.sleep(0.3)
cmd.do(f'png clip_{name}, width={480}, height={270}')
for n in range(1, 4):
for l in range(0, n):
for m in range(-l, l+1):
name = f'{n}_{l}_{m}'
cmd.load(f'{name}.cube')
cmd.volume(f'{name}-vol', name, ramp='ramp007')
cmd.hide()
cmd.show('volume', f'{name}-vol')
cmd.reset()
cmd.turn('x', 45)
cmd.turn('y', 45)
cmd.turn('z', 45)
time.sleep(0.3)
cmd.do(f'png {name}, width={480}, height={270}')
Нарисуем полученные орбитали при помощи Matplotlib
In [23]:
import glob
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.image as mpimg
numbers = ['1_0_0', '2_0_0', '2_1_0', '2_1_1', '2_1_-1', '3_0_0', '3_1_0', '3_1_1', '3_1_-1', '3_2_0', '3_2_1', '3_2_-1', '3_2_2', '3_2_-2']
img_paths = [f'clip_{i}.png' for i in numbers]
images = []
for img_path in img_paths:
images.append(mpimg.imread(img_path))
orbitals = ['s1','s2','p2','p2','p2','s3','p3','p3','p3','d3','d3','d3','d3','d3']
f = plt.figure(figsize=(20,10))
columns = 4
for i, image in enumerate(images):
f.add_subplot(len(images) / columns + 1, columns, i + 1)
plt.imshow(image)
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.title(f'{orbitals[i]}')
plt.show()
Теперь поверхности.
In [11]:
img_paths = [f'{i}.png' for i in numbers]
images = []
for img_path in img_paths:
images.append(mpimg.imread(img_path))
orbitals = ['s1','s2','p2','p2','p2','s3','p3','p3','p3','d3','d3','d3','d3','d3']
f = plt.figure(figsize=(20,10))
columns = 4
for i, image in enumerate(images):
f.add_subplot(len(images) / columns + 1, columns, i + 1)
plt.imshow(image)
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.title(f'{orbitals[i]}')
plt.show()
Сравним полученные результаты с результатом программы Orca. Для этого создадим файл h.inp для подсчета интересующих нас орбиталей. Потом на kodomo запустим Orka.
In [27]:
with open('h.inp', 'w') as f:
f.write('''! UHF QZVPP XYZFile
%plots Format Cube
MO("H-0.cube",0,0);
MO("H-1.cube",1,0);
MO("H-2.cube",2,0);
MO("H-3.cube",3,0);
MO("H-4.cube",4,0);
MO("H-5.cube",5,0);
MO("H-6.cube",6,0);
MO("H-7.cube",7,0);
MO("H-8.cube",8,0);
MO("H-9.cube",9,0);
MO("H-10.cube",10,0);
MO("H-11.cube",11,0);
MO("H-12.cube",12,0);
MO("H-13.cube",13,0);
end
* xyz 0 4
H 0 0 0
* ''')
Проведем все те же манипуляции в Pymol и используем Matplotlib
In [48]:
cmd.reinitialize()
cmd.volume_ramp_new('ramp007', [-0.015, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00,
-0.01, 1.00, 0.00, 0.00, 0.20,
-0.005, 0.00, 0.00, 1.00, 0.00,
0.005, 0.00, 0.00, 1.00, 0.00,
0.01, 0.00, 1.00, 0.00, 0.20,
0.015, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00])
for n in range(14):
cmd.load(f'H-{n}.cube')
cmd.volume(f'H-{n}-vol', f'H-{n}', ramp='ramp007')
cmd.hide()
cmd.show('volume', f'H-{n}-vol')
cmd.reset()
cmd.turn('x', 90)
cmd.clip('slab', 0)
time.sleep(0.5)
cmd.do(f'png clip_orca_{n}, width={480}, height={270}')
for n in range(14):
cmd.load(f'H-{n}.cube')
cmd.volume(f'H-{n}-vol', f'H-{n}', ramp='ramp007')
cmd.hide()
cmd.show('volume', f'H-{n}-vol')
cmd.reset()
cmd.turn('x', 45)
cmd.turn('y', 45)
cmd.turn('z', 45)
time.sleep(0.4)
cmd.do(f'png orca_{n}, width={480}, height={270}')
In [49]:
img_paths = [f'clip_orca_{i}.png' for i in range(14)]
images = []
for img_path in img_paths:
images.append(mpimg.imread(img_path))
orbitals = ['s1','s2','p2','p2','p2','s3','p3','p3','p3','d3','d3','d3','d3','d3']
f = plt.figure(figsize=(20,10))
columns = 4
for i, image in enumerate(images):
f.add_subplot(len(images) / columns + 1, columns, i + 1)
plt.imshow(image)
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.title(f'{orbitals[i]}')
plt.show()
In [50]:
img_paths = [f'orca_{i}.png' for i in range(14)]
images = []
for img_path in img_paths:
images.append(mpimg.imread(img_path))
orbitals = ['s1','s2','p2','p2','p2','s3','p3','p3','p3','d3','d3','d3','d3','d3']
f = plt.figure(figsize=(20,10))
columns = 4
for i, image in enumerate(images):
f.add_subplot(len(images) / columns + 1, columns, i + 1)
plt.imshow(image)
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.title(f'{orbitals[i]}')
plt.show()
Орбитали отличаются друг от друга не сильно.