Исследование качества восстановления функции ЭП от одной переменной в зависимости от того, какие и сколько гармоник ряда Фурье используются для ее восстановления

Задание функции

С помощью скрипта compile-func.py была построена одномерная функция ЭП для модели из двух молекул (5 атомов - 3+2), расположенных на отрезке длиной в 30Å. Согласно модели атомы внутри молекул связаны ковалентно и находятся на расстоянии 1-1.5Å. ЭП атома описывается гауссовой кривой по формуле:

gauss = lambda*exp(-(beta^2)*(X-gamma)^2)

Скрипт был запущен со следующими параметрами:

python compile-func.py -g 35,3.5,11+8,3,12.2+25,3.1,13.1+20,3.1,18.2+10,3,19.7

Изображение смоделированной функции ЭП.

Расчет амплитуд и фаз сигналов, моделирующих экспериментальные данные

Амплитуды и фазы рассчитываются по входной функции ЭП. При моделировании экспериментальных данных учитывается, что в эксперименте, во-первых, определяются амплитуды не для всех сигналов; во-вторых, интенсивности сигналов (следовательно, и амплитуды) определяются с ошибкой; в-третьих, фазы определятся для всех измененных сигналов, но тоже с ошибкой.

Чтобы восстановить для каждой гармоники амплитуду (F) и фазу (phi), был использован скрипт func2fourier.py. На вход подавался файл, полученный на предыдущем шаге func.txt.

func2fourier.py -i func.txt

Восстановление функции ЭП по амплитудам и фазам части сигналов

Для восстановления функции из набора гармоник использовался скрипт fourier2func.py, также для отбора гармоник из полного набора использовался скрипт fourier-filter.py.

Влияние количества определенных гармоник

Отбор для изучения влияния количества гармоник на вид функции производился по первым гармоникам (0..n), где 5'<'n'<'50.

Влияние количества гармоник на "узнаваемость" пиков (n - количество рассматриваемых гармоник)

n=5	n=10
n=15	n=20
n=25	n=30
n=40	n=50

Начиная с 30-й гармоники пики полностью различимы. Но это модель без "шума", т.е. идеальная.

Влияние "шумов"

Введем искуственно созданный "шум" с помощью скрипта func2fourier.py и рассмотрим его влияние на вид функции при количестве гармоник, равном 30. Параметры -F и -P отвечают за "шум" по ампитуде и фазе соответственно, а выражаются в процентах (k и l соответственно).

python func2fourier.py -i func.txt -F k -P l
 
python fourier-filter.py -r 0-30
 
python fourier2func.py -f func.txt -i func_ft_filtered.txt

Влияние шума на "узнаваемость" пиков (n=30 - количество рассматриваемых гармоник, F - "шум" по амплитуде, P - "шум" по фазе)

F10P0	F0P10	F10P10
F20P0	F0P20	F20P20
F30P0	F0P30	F30P30
F0P0	F30P10	F10P30

Выводы:
Чем больше шум, тем сложнее различить пики, а, следовательно, и восстановить ЭП.
Шум по одному из параметров ухудшает восстановление ЭП меньше, чем шум, добавленный ко всем параметрам.
Шум на уровне 10% не сильно меняет картину, все пики остаются различимыми на его фоне.
Добавление шума к фазе сильнее "портит" функцию - на уровне 30% шума, добавленного к амлитуде, пики довольно четкие и не сильно "теряются", в то время как шумы фазы достигают высоты малых пиков.

Восстановление функции ЭП по амплитудам и фазам части сигналов

Смоделируем часто встречающуюся ситуацию, когда набор гармоник неполон. Для этого использовались уже упомянутые ранее скрипты fourier-filter.py и fourier2func.py:

python fourier-filter.py -r (номера выбранных гармоник) 

python fourier2func.py -f func.txt -i func_ft_filtered.txt

Влияние полноты набора гармоник на восстановление функции ЭП (в качестве подписи к изображениям - номера взятых для построения гармоник).

1-30	3-30	10-30
0-30,40	0-12,18-30	0-10,12-15,17-18,20-30

При удалении первой гармоники "нулевая" линия опустилась, но пики атомов прекрасно различимы, однако по мере удаления большего количества первых гармоник появляется все более видимый шум. Несмотря на это, даже отсутствие 5 первых гармоник не делает функцию нерепрезентативной.
Ожидаемо добавление гармоники с большим номером практически никак не изменило функцию, т.к. чем больше номер гармоники, тем меньше ее вклад.
Удаление гармоник со средними номерами также дало увеличение шума, однако меньшее, чем при отсутствии начальных гармоник, т.к. те вносят бОльший вклад.

Итоговая таблица

Кратко о качестве восстановленной функции ЭП:
Отличное восстановление – по графику восстановленной функции можно определить положение максимума всех гауссовых слагаемых функции ("атомов")
Хорошее восстановление – можно угадать положение всех максимумов, зная число слагаемых ("атомов"), хотя на восстановленной функции максимумы от атомов не отличимы от шума
Среднее восстановление – положение каких-то атомов определить по восстановленной функции нельзя, других - можно
Плохое восстановление – положение атомов определить не представляется возможным; можно только предсказать примерный размер "молекулы"

Результаты восстановления функции ЭП в ходе выполненных ранее заданий приведены ниже.

Назад
На главную

© Кучеренко Варвара 2019