Восстановление электронной плотности (ЭП)

1. Задание функции


Для проведения компьютерного эксперимента была использована следующая модель: На отрезке [0,30] (ангстремы) расположены две молекулы. Первая молекула содержит три атома, вторая-два. Атомы в молекуле связаны ковалентно и находятся на расстоянии 1-1.5 анстрем друг от друга. Молекулы расположены на расстоянии 3-5 ангстрем (водородная связь или гидрофобное взаимодействие между ними). Всего 3 различных типа атомов. Электронные плотности (ЭП) атомов описываются гауссовой кривой. Максимум ЭП в центре атома приблизительно пропорционален числу электронов в атоме.

Функция, описывающая данную модель, была создана с помощью скрипта . Гауссова функция определяется числами lambda,beta,gamma по формуле: gauss = lambda*exp(-(beta^2)*(X-gamma)^2). Здесь a^2=a*a. Использованная команда:

python compile-func.py -o outfuncc.txt -g 30,3.3,5+20,3,6.3+30,3.3,7.6+25,3,12+30,3,13.4

Результат работы скрипта представлен в файле, а график функции на рисунке ниже.


Рис.1. График электронной плотности одномерной модели двух молекул.

2. Расчет амплитуд и фаз сигналов, моделирующих экспериментальные данные


Затем с помощью скрипта функция была разложена в ряд Фурье. Было получено 500 гармоник (0-499), их коэффициенты (фазы и амплитуды) записаны в файл.

3. Восстановление функции ЭП по амплитудам и фазам части сигналов


Полные наборы гармоник


По различным полным наборам гармоник с помощью скрипта восстанавливалась исходная функция распределения ЭП. . Их наложение на исходную функцию показано на рисунке 2.
<

Рис.2. Графики электронной плотности одномерной модели двух молекул и её восстановление с помощью различных полных наборов гармоник. Слева направо и сверху вниз использовались наборы гармоник: с 0 по 1, с 0 по 10, с 0 по 20 и с 0 по 30.

Как видно из рисунка, набор с 0 по 30 является минимальным полным набором гармоник, при котором восстановление функции можно считать отличным

Полный набор гармоник с 0 по 30 при различных уровнях шума


Скрипт func2fourier также позволяет добавлять шум в амплитуды (F) и фазы (P). Шум 20% означает, что к каждому значению Х прибавляется случайное число, распределенное нормально с параметрами: среднее = 0, среднее квадратичное отклонение (сигма)=0.2*Х. Ниже представлены результаты восстанвления по полному набору гармоник с 0 по 30 при различных уровнях шума.


Рис.2. Графики электронной плотности одномерной модели двух молекул и её восстановление с помощью полного набора гармоник с 0 по 30. Слева направо представлено восстановление при различных уровнях шума амплитуды: f 10% и f 20%.


Рис.3. Графики электронной плотности одномерной модели двух молекул и её восстановление с помощью полного набора гармоник с 0 по 30. Слева направо представлено восстановление при различных уровнях шума фазы: p 10% и p 20%.


Рис.4. Графики электронной плотности одномерной модели двух молекул и её восстановление с помощью полного набора гармоник с 0 по 30. Слева направо и сверху вниз представлено восстановление при различных уровнях шума амплитуды и фазы: f 10% p 10%, f 10% p 20%, f 20% p 10% и f 20% p 20 %.

Неполные наборы гармоник


Аналочичным образом была восстановлена функция ЭП при использовании различных неполных наборов гармоник.


Рис.5. Графики электронной плотности одномерной модели двух молекул и её восстановление с помощью различных неполнох наборов гармоник. Слева направо представлено восстановление при различных наборах гармоник: с 1 по 30 и со 2 по 30.


Рис.6. Графики электронной плотности одномерной модели двух молекул и её восстановление с помощью различных неполнох наборов гармоник. Слева направо представлено восстановление при различных наборах гармоник: с 0 по 30, но без 13 и 14 и с 0 по 30, включая 40.

4. Расчет разрешения


Результаты эксперимента собраны в таблице ниже.
Набор гармоник Разрешение Полнота данных Шум амплитуды (% от величины F) Шум фазы Качество восстановления Комментарии
(Å) (%) (% от величины phi) (отличное, хорошее, среднее, плохое)
Полный набор гармоник
0–1 30 Å 100% 0 0 Плохое  
0–10 3 Å 100% 0 0 Среднее  
0–20 1,5 Å 100% 0 0 Хорошее Пик второго атома слабо различим
0-30 1 Å 100% 0 0 Отличное  
0-30 1 Å 100% 10 0 Отличное  
0-30 1 Å 100% 20 0 Отличное  
0-30 1 Å 100% 0 10 Отличное  
0-30 1 Å 100% 0 20 Отличное  
0-30 1 Å 100% 10 10 Отличное  
0-30 1 Å 100% 20 20 Хорошее  
0-30 1 Å 100% 10 20 Хорошее Почти отличное
0-30 1 Å 100% 20 10 Отличное  
Неполный набор гармоник
1–30   96.8% 0 0 Отличное  
фев.30   93.5% 0 0 Отличное  
0-12,15-30   93.5% 0 0 Отличное  
0-30, 40   100% 0 0 Отличное