Модель для компьютерного эксперимента.

На отрезке [0,30] (ангстремы) расположены две молекулы. Атомы в молекуле связаны ковалентно и находятся на расстоянии 1-1.5 анстрем друг от друга. Молекулы расположены на расстоянии 3-5 ангстрем (водородная связь или гидрофобное взаимодействие между ними). Всего 6 атомов . Электронные плотности (ЭП) атомов описываются гауссовой кривой. Максимум ЭП в центре атома приблизительно пропорционален числу электронов в атоме.

Параметры для построения функции электронной плотности были взяты для модели из файла variant1.txt. Для построения функции был запущен скрипт compile-func.py со следующими параметрами:

python compile-func.py -g 30,2,11+20,2,13+20.0,2,16+30.0,2,21+30.0,2,25+30,2,28 

Результат - на рисунке 1.

Рисунок 1. График функции распределения электронной плотности.

Для данной плотности были рассчитаны гармоники ряда Фурье с помощью скрипта func2fourier.py. В результате получился файл fourier.txt, содержащий 498 амплитуд и фаз гармоник.

Восстановление функции электронной плотности по полному набору гармоник.

С помощью скрипта fourier-filter.py были созданы полные наборы гармоник с разными n, и для них восстановлены электронные плотности скриптом fourier2func.py. Результат - на рисунке 2.

Рисунок 2. Графики электронной плотности, восстановленные по полным наборам гармоник с разными n. Пунктир - истинная электронная плотность.

Теперь рассмотрим, что будет, если гармоники изначально рассчитаны с некоторыми погрешностями. Восстановим электронную плотность по 30 гармоникам, внеся погрешность в 10% в амплитуду, фазу, или всё вместе. Используем команду:

python func2fourier.py -i func.txt -o fourier_F_P.txt -F f -P p 

Результат - на рисунке 3.

Рисунок 3. Графики электронной плотности, восстановленные по полным наборам гармоник с n=30 и разными погрешностями в определении гармоник.

Как можно заметить, погрешность в фазе ухудшает качество восстановления сильнее, чем погрешность в амплитуде, и даже сильнее, чем все вместе (как ни парадоксально).

Восстановление функции электронной плотности по неполному набору гармоник.

Для того чтобы проверить, как функция восстанавливается из неполного набора гармоник, было создано 3 набора:

- с удаленными первыми 2 гармониками (2-30);

- с удаленными 3 гармониками из середины (1-10,12-17,19-22,24-30);

- с добавленной гармоникой на 10 больше максимальной (1-30, 40).

Результат - на рисунке 4.

Рисунок 3. Графики электронной плотности, восстановленные по неполным наборам гармоник.

Как можно заметить, при удалении первых гармоник, или добавлении гармоники с высоким числом, график функции сильно отличается от настоящего, но на определении пиков, а значит и атомов это не сказывается. Напротив, при удалении рандомных средних гармоник качество расшифровки заметно падает.

В таблице - статистика по всем восстановленным электронным плотностям.