3.Восстановление структуры по "экспериментальным данным РСА" в одномерной модели

Разложение функции в ряд Фурье

Функция задается на интервале [0,30]. Моделируется в 1D график электронной плотности молекулы. Для запуска скриптов необходим модуль fourier.py. С помощью скрипта compile-func.py была смоделирована функция электронной плотности для двух молекул из трех и двух атомов, находящихся на расстоянии 4 Å, c атомами, находящимися на расстоянии 1.5 Å (Рис. 1).

Скрипт был запущен со следующими параметрами:

Электронная плотность представляет собой сумму 5 Гауссовых функций, соответсвующих 5 атомам, где в каждом слагаемом первое из трех чисел отражает величину пика, второе - ширину, а третье - точку максимума для каждого пика.

Рисунок 1. Электронная плотность 2 молекул из 3 и 2 атомов.

Коэффициенты Фурье были рассчитаны с помощью скрипта func2fourier.py, входным файлом которого (параметр -i) является текстовый файл, порожденный скриптом compile-func.py (описывающий исходную функцию). С помощью этого же скрипта проводилось добавление шума к амплитудам и фазам (параметры -F и -P соответственно,число в процентах).

Отбор гармоник производился с помощью другого скрипта fourier-filter.py (параметр -r, номера гармоник, которые должны остаться), входным файлом которого (параметр -i) является текстовый файл, порожденный скриптом func2fourier.py (все гармоники, возможно с шумом).

Восстановление функции по отобранным гармоникам было производилось скриптом fourier2func.py, входным файлом которого (параметр -i) является текстовый файл, порожденный скриптом fourier-filter.py (отобранные гармоники). Этот же скрипт рисует соответствующие графики электронной плотности.

Для оценки качества восстановления исходной функции использовались следующие критерии:

Отличное восстановление – по графику восстановленной функции можно определить положение максимума всех гауссовых слагаемых функции ("атомов")

Хорошее восстановление – можно угадать положение всех максимумов, зная число слагаемых ("атомов"), хотя на восстановленной функции максимумы от атомов не отличимы от шума

Среднее восстановление – положение каких-то атомов определить по восстановленной функции нельзя, других - можно

Плохое восстановление – положение атомов определить не представляется возможным; можно только предсказать примерный размер "молекулы"

Полный набор гармоник без шума

Рисунок 2. Восстановленная электронная плотность с гармониками: 1)0-5; 2)0-15; 3)0-20; 4)0-25; 5)0-30; соответственно.

Где-то с третьего набора (0-20) положение атомов начинает проясняться, но я все же брал хотя бы 0-25, т.к. на нем уже однозначно можно разделить все 5 атомов.

Полный набор гармоник с шумом

На рис.3 изображена восстановленная электронная плотность с шумом в фазах (P) и амплитудах (F) в 15%, а на рис. 4 в 35%.

Рисунок 3. Восстановленная электронная плотность с шумом: 1) F15 2)P15 3)F15P15 соответственно.

Рисунок 4. Восстановленная электронная плотность с шумом: 1) F35 2)P35 3)F35P35 соответственно.

Я бы сказал, что в данном случае добавление шума в амплитуду (как на 15%, так и на 35%) не сильно ухудчшило востановоление. Шум в фазах сильнее влияет на резульат, т.к. он приводит к уменьшеню пиков, что делает их менее различимыми на уровне шума. Также заметно, что 35% усложняет востановление больше, нежели 15%.

Неполный набор гармоник

Рисунок 5. Восстановленная электронная плотность по неполному набору гармоник (без первых), остались гармоники: 1) 1-30; 2) 2-30; 3) 5-30.

Рисунок 6. Восстановленная электронная плотность по неполному набору гармоник (без средних), остались гармоники: 1) 0-10 и 15-30; 2) 0-15 и 20-30.

На мой взгляд удаление части гармоник не привело к существенному ухудчшению узнавания, ведь пики в ряде фурье обусловлены не одной гармоникой, а суммарным вкладом многих. На мой взгляд качество востановления остается отличным.

Добавление гармоники с большим номером

Ни рис. 7 предоставлен результат восстановления плотности по всем гармоникам (30) плюс с дополнительной гармоникой, с номером на 10 больше (т.е. имеющей номер 40).

Рисунок 7. Восстановленная электронная плотность по добавленному набору гармоник: 0-30, 40.

Отличий от изначального варианта (рис 2.5) визуально не заметно.

Итоговая таблица с оценкой восстановления всех рассмотренных выше электронных плотностей.