Ab initio вычисление орбиталей водорода

In [2]:
import numpy
import scipy.special
import scipy.misc
from IPython.display import display,Image
from npy2cube import npy2cube
import math

Задаём волновую функцию

In [2]:
def w(n,l,m,d):
    # n,l,m – квантовые числа
    # d – шаг
    
    x,y,z = numpy.mgrid[-d:d:30j,-d:d:30j,-d:d:30j]
    
    # Переход к сферическим координатам, где r – радиус дистанции, thata, phi – углы относительно осей
    r = lambda x,y,z: numpy.sqrt(x**2+y**2+z**2)
    theta = lambda x,y,z: -numpy.arcsin(z/r(x,y,z)) + math.pi/2
    phi = lambda x,y,z: numpy.arctan2(y, x) + math.pi
    
    # Боровский радиус, наиболее вероятная дистанция между ядром и электроном
    a0 = 1
    
    # R – радиальная часть волновой функции, n, l – квантовые числа
    # scipy.special.genlaguerre - обобщённый полином Лагерра
    R = lambda r,n,l: (2*r/n/a0)**l * numpy.exp(-r/n/a0) * scipy.special.genlaguerre(n-l-1,2*l+1)(2*r/n/a0)
    
    # Добавочный коэффициент
    k = lambda n,l: numpy.sqrt((2/n/a0)**3 * math.factorial(n-l-1)/(2*n*math.factorial(n+l)))
    
    # Волновая функция, scipy.special.sph_harm – сферическая гармоника
    WF = lambda r,theta,phi,n,l,m: k(n, l) * R(r,n,l) * scipy.special.sph_harm(m,l,phi,theta)
    
    # Плотность вероятности WF
    absWF = lambda r,theta,phi,n,l,m: numpy.absolute(WF(r,theta,phi,n,l,m))**2
    result = WF(r(x,y,z),theta(x,y,z),phi(x,y,z),n,l,m)
    return numpy.real(result) + numpy.imag(result)

Функция Андрея Демкива

In [3]:
def npy2cube(grid, start, step, cube_f):
    '''
    PARAMETERS:
        grid : numpy array
            3-dimentional array, containing grid data
        start : tuple
            format: (x, y, z), coordinates of cube start point
        step: tuple
            format: (x, y, z), step size on 3 axes 
        cube_f: string
             name of output .cube file
    
    RETURNS:
        void    
    '''
    
    cube_string = ""
    bohr_to_angs = 0.529177210859 #const
    start = list(map(lambda x: x/bohr_to_angs, start))
    step = list(map(lambda x: x/bohr_to_angs, step))

    with open(cube_f, "w") as cube_file:
        ###HEADER###
        cube_file.write(" CPMD CUBE FILE.\nOUTER LOOP: X, MIDDLE LOOP: Y, INNER LOOP: Z\n")
        cube_file.write("    1 %f %f %f\n" %(start[0], start[1], start[2]))
        cube_file.write("  %i    %f   0.000000     0.000000\n" %(grid.shape[0], step[0]))
        cube_file.write("  %i    0.000000    %f    0.000000\n" %(grid.shape[1], step[1]))
        cube_file.write("  %i    0.000000    0.000000    %f\n" %(grid.shape[2], step[2]))
        cube_file.write("    1    0.000000    %f %f %f\n" %(start[0], start[1], start[2]))

        ###DATA###
        i = 0
        for x in range(grid.shape[0]):
            for y in range(grid.shape[1]):
                for z in range(grid.shape[2]):
                    if i < 5:
                        cube_file.write("%f " %(float(grid[x, y, z])))
                        i += 1
                    elif i == 5:
                        cube_file.write("%f\n" %(float(grid[x, y, z])))
                        i = 0
    return 0

Вычисляем первые три уровня...

In [4]:
for n in range(1, 4):
    d = 10 * n
    step = d / 10
    for l in range(0,n):
        for m in range(-l,l+1,1):
            grid= w(n, l, m, d)
            name='%s_%s_%s' % (n,l,m)
            npy2cube(grid, (-d,-d,-d), (step,step,step), f'{name}.cube')

Рассчитаем орбитали в программе Orca на kodomo. Создадим текстовый файл h.inp:

In [13]:
with open('orca.inp', 'w') as f:
    f.write('''! UHF QZVPP XYZFile
%plots Format Cube
''')
    for i in range(0,14):
        f.write(f'MO("H-{i}.cube",{i},0);\n')
    f.write('''end
* xyz 0 4
H 0 0 0
* ''')

Далее запустим следующие команды через Putty: export PATH=${PATH}:/srv/databases/orca

orca h.inp

C визуализацей при помощи скриптов возникли какие-то проблемы, поэтому сначала вручную были получены изображения отдельных орбиталей, а потом собраны в одну картинку при помощи Adobe Illustrator. Кроме того, возникали проблемы с отображением Volume. В результате были получены картинки ниже.

In [5]:
Image(filename='pr4_orbitals_npy2cube.png')
Out[5]:
In [4]:
Image(filename='pr4_orbitals_orca.png')
Out[4]:
In [6]:
display(Image('https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Hydrogen_Density_Plots.png/1024px-Hydrogen_Density_Plots.png'))

Мы получили что-то странное. К сожалению, мне не удалось разобраться, в чём проблема. Предположу, что это какие-то ошибки в визуализации посредством Pymol. Volume отображается как-то неадекватно. Кажется, что обрезана половина изображения.

В целом оказалось так, что некоторые орбитали совпадают, и есть некоторые, не похожие на то, что должно быть. Многие орбитали, построенные orca не совпадают с теми, что построил наш скрипт.