Практикум №3. Восстановление структуры по "экспериментальным данным РСА" в одномерной модели

Разложение функции в ряд Фурье

Функция задается на интервале [0,30]. Моделируется в 1D график электронной плотности молекулы. Для запуска скриптов необходим модуль fourier.py. С помощью скрипта compile-func.py была смоделирована функция электронной плотности для двух молекул из трех и двух атомов, находящихся на расстоянии 4 Å, c атомами, находящимися на расстоянии 1.5 Å (Рис. 1).

Скрипт был запущен со следующими параметрами:
-g 30,3,10+20,3,11.5+40,3,13+25,3,17+35,3,18.5

Электронная плотность представляет собой сумму 5 Гауссовых функций, соответсвующих 5 атомам, где в каждом слагаемом первое из трех чисел отражает величину пика, второе - ширину, а третье - точку максимума для каждого пика.

Рис 1. Электронная плотность 2 молекул из 3 и 2 атомов.

Коэффициенты Фурье были рассчитаны с помощью скрипта func2fourier.py, входным файлом которого (параметр -i) является текстовый файл, порожденный скриптом compile-func.py (описывающий исходную функцию). С помощью этого же скрипта проводилось добавление шума к амплитудам и фазам (параметры -F и -P соответственно,число в процентах).

Отбор гармоник производился с помощью скрипта fourier-filter.py (параметр -r, номера гармоник, которые должны остаться), входным файлом которого (параметр -i) является текстовый файл, порожденный скриптом func2fourier.py (все гармоники, возможно с шумом).

Восстановление функции по отобранным гармоникам было производилось скриптом fourier2func.py, входным файлом которого (параметр -i) является текстовый файл, порожденный скриптом fourier-filter.py (отобранные гармоники). Этот же скрипт рисует соответствующие графики электронной плотности.

Для оценки качества восстановления исходной функции использовались следующие критерии:

Отличное восстановление – по графику восстановленной функции можно определить положение максимума всех гауссовых слагаемых функции ("атомов")

Хорошее восстановление – можно угадать положение всех максимумов, зная число слагаемых ("атомов"), хотя на восстановленной функции максимумы от атомов не отличимы от шума

Среднее восстановление – положение каких-то атомов определить по восстановленной функции нельзя, других - можно

Плохое восстановление – положение атомов определить не представляется возможным; можно только предсказать примерный размер "молекулы"

Полные наборы гармоник без шума

На Рис. 2 представлены результаты восстановления электронной плотности с использованием разного количества первых гармоник из разложения в ряд фурье. Отличным можно считать восстановление начиная с 25 гармоник. Т.е. n_0=25

Рис 2. Восстановленная электронная плотность с гармониками: 1) 0; 2)0-5; 3)0-15; 4)0-20; 5)0-25; 6)0-30; соответственно.

Полные наборы гармоник с шумом

На рис. 3 изображено восстановленная электронная плотность с шумом в фазах (P) и амплитудах (F) в 10%, а на рис. 4 в 30%. Можно сказать, что в данном случае дабавление шума в 10% и 30% в амплитуды не очень ухудшило восстановление. И шум в фазах влияет сильнее, чем шум в модулях струткурных факторов.

Рис 3. Восстановленная электронная плотность с шумом: 1) F10 2)P10 3)F10P10 соответственно.

Рис 4. Восстановленная электронная плотность с шумом: 1) F30 2)P30 3)F30P30 соответственно.

Неполные наборы гармоник

На рис.5 изображена востановленная электронная плотность без начальных (первой, первых двух и первых пяти) гармоник. Как можно видеть удаление первых двух гармоник не приводит к значительному ухудшению, а удаление 5 уже заметно.

Рис 5. Восстановленная электронная плотность по непольному набору гармоник без первых, остались гармоники: 1) 1-25 2) 2-25 3) 5-25 соответственно.

На рис.6 изображена востановленная электронная плотность без двух, четырех и семи средних гармоник. Последная ситуация ощутимо ухудшает восстановление.

Рис 6. Восстановленная электронная плотность по непольному набору гармоник без средних, остались гармоники: 1) 0-12 и 15-25 2) 0-10 и 15-25 3) 0-10 и 18-25 соответственно.

Добавление гармоники, большей чем n_0

На рис. 7 изображен результат восстановления плотности по всем необхидмым гармоникам (до 25) и еще одной гармоники с номером на 10 больше. Как можно видеть, добавился небольшой периодический шум, но принципиально изменения не произошло.