Ряд Фурье

Полный набор гармоник

Моделирование функции распределения электронной плотности

Была построена модель функции распределения электронной плотности для молекул NaOH и HCl на отрезке [0,30] Å (Рисунок 1). При этом считалось, что длина ковалентной связи равна 1.5 Å, длина водородной связи равна 3.5 Å, электронная плотность атомов описывается суммой гауссовых кривых, максимум электронной плотности в центре атома пропорционален числу электронов в атоме. Максимум электронной плотности в центре каждого атома был рассчитан, как удвоенное число электронов в атоме: 22 для натрия, 16 для кислорода, 2 для водорода и 34 для хлора. Модель функции распределения электронной плотности была построена скриптом compile-func.py командой:
python compile-func.py -g 22,3,3.5+16,3,5+2,3.5,6.5+2,3.5,10+34,3,11.5

Расчёт коэффициентов ряда Фурье

Функцию распределения электронной плотности можно разложить в ряд Фурье, рассчитав амплитуды и фазы. Амплитуды и фазы для 0, 1, ..., 497, 498 гармоник ряда Фурье были рассчитаны скриптом func2fourier.py командой:
python func2fourier.py -i func.txt

Восстановление функции по рассчитанным коэффициентам

Восстановление функции по n₀ = 44 коэффициентам ряда Фурье можно считать отличным (можно определить положение максимумов всех гауссовых слагаемых функции). Восстановление функции по n = 33 коэффициентам ряда Фурье можно считать хорошим, хотя положение максимумов для атомов водорода определить уже сложнее. Восстановление функции по n = 22 коэффициентам ряда Фурье можно считать средним, поскольку положение максимумов для атомов натрия, кислорода и хлора определить всё ещё можно. Восстановление функции по n = 11 коэффициентам ряда Фурье можно считать плохим (Рисунки 2 и 3). Функция распределения электронной плотности была восстановлена скриптами fourier-filter.py и fourier2func.py командами:
python fourier-filter.py -r 0-n
python fourier2func.py -s

Добавление шума

Для приближения модели к реальным условиям были рассчитаны амплитуды и фазы для 0, 1, ..., 497, 498 гармоник ряда Фурье с добавлением гауссового шума к амплитудам (30%), к фазам (30%), к амплитудам и фазам (по 10%). По рассчитанным n₀ = 44 коэффициентам ряда Фурье была восстановлена функция распределения электронной плотности (Рисунки 4 и 5). В данном случае при добавлении различных шумов восстановление функции можно считать средним.

Неполные наборы гармоник

Для приближения модели к реальным условиям функция распределения электронной плотности была восстановлена по следующим наборам коэффициентов ряда Фурье (коэффициенты были рассчитаны без добавления шума) (Рисунки 6 и 7):
• Исключены 0 и 1 гармоники ряда Фурье
• Исключены 21, 22, 23, 24 гармоники ряда Фурье
• Добавлена 55 гармоника ряда Фурье

На рисунке 4 видно, что исключение небольшого числа (5%) начальных гармоник слабо влияет на качество восстановления функции. При исключении небольшого числа (10%) гармоник из середины набора восстановление функции можно считать средним. Добавление гармоник к полному набору, при котором восстановление функции отличное, должно только улучшать качество восстановления функции.

Набор гармоник ряда Фурье называется полным, если известны все гармоники с номерами 0, 1, …, n-1, n. Разрешением полного набора гармоник называют период (длину волны) гармоники с номером n. Пусть функция определена на отрезке длиной 30 Å. Тогда разрешение полного набора гармоник равно d = 30/n Å. Чем больше n, тем меньше d, тем выше разрешение, тем лучше восстановление функции.

Разрешение неполного набора гармоник можно рассчитывать по той же формуле, но в таком случае необходимо указывать полноту данных - процент гармоник, имеющих длину волны большую, чем гармоника с номером n. Для полного набора гармоник полнота данных равна 100%. Для набора гармоник, содержащего полный набор гармоник, при котором восстановление функции отличное, а также содержащего гармоники с меньшей длиной волны, полноту данных можно считать равной 100%.

Формально высокое разрешение при низкой полноте данных не гарантирует качественное восстановление функции.