Главная


Практикум №3: "Восстановление функции электронной плотности"

Создание модельной функции


Использовалась одномерная модель расположения двух молекул по 3 атома в на отрезке [0; 30] ангстрема. Был выбран 1 вариант модели.
Модель представляет собой сумму 6 гауссовых функций: gauss = lambda*exp(-(beta^2)*(X-gamma)^2).

На основании данной модели была задана функция, описывающая электронную плотность (скрипт: compile-func.py). Её график на Рис. 1.

Рис. 1. Модельная функция на интервале [0; 30] ангстрем

Расчет амплитуд и фаз



С помощью скрипта func2fourier.py функция была разложена в ряд Фурье на 499 гармоник. В func2 записаны номер, амплитуда и фаза для каждой гармоники.

Восстановление функции электронной плотности по амплитудам и фазам


По полному набору гармоник была восстановлена первоначальная функция ЭП (скрипт fourier2func.py)
Её график (представлен на Рис. 2) не отличим от графика первоначальной функции, восстановление отличное (по графику восстановленной функции можно определить положение максимума всех гауссиан, то есть определить положение каждого атома).

Рис. 2. Восстановлення функция по 499 гормоникам


Далее найдем порог числа гармоник, при котором функция восстанавливается отлично. Рассматривались слудющие наборы гармоник: 0-5, 0-10, 0-15, 0-19, 0-20 (Рис. 3 - Рис. 7).

Рис. 3. Восстановлення функция по гормоникам 0-5


Рис. 4. Восстановлення функция по гормоникам 0-10


Рис. 5. Восстановлення функция по гормоникам 0-15


Рис. 6. Восстановлення функция по гормоникам 0-19


Рис. 7. Восстановлення функция по гормоникам 0-20


Восстановление по гармоникам 0-5 позволяет судить расположении молекул, но не позволяет различить отдельные атомы. Восстановление по набору гармоник 0-10 не позволяет различить все отдельные атомы в обеих молекулах (первые два атома в первой молекуле объединены). Восстановление функции по гармоникам 0-15 и 0-19 позволяет различить все атомы в молекулах модели, но присутствует смещение некоторых пиков. А вот восстановлении по гармоникам 0-20 - отличное (n_0 = 20). Везде далее число используемых гармоник уменьшено до 20.

Влияние шума на восстановление функции ЭП


Для приближения к условиям реального эксперимента, к амплитудам и фазам гармоник был добавлен шум (Рис. 8 - Рис. 15).

Рис. 8. График изначальной функции электронной плотности (сплошная линия) и восстановленной (пунктирная линия) с шумом амплитуд 10%


Рис. 9. График изначальной функции электронной плотности (сплошная линия) и восстановленной (пунктирная линия) с шумом амплитуд 20%


Рис. 10. График изначальной функции электронной плотности (сплошная линия) и восстановленной (пунктирная линия) с шумом амплитуд 50%


Рис. 11. График изначальной функции электронной плотности (сплошная линия) и восстановленной (пунктирная линия) с шумом фаз 10%


Рис. 12. График изначальной функции электронной плотности (сплошная линия) и восстановленной (пунктирная линия) с шумом фаз 20%


Рис. 13. График изначальной функции электронной плотности (сплошная линия) и восстановленной (пунктирная линия) с шумом фаз 50%


Рис. 14. График изначальной функции электронной плотности (сплошная линия) и восстановленной (пунктирная линия) с шумом фаз и амплитуд по 10%


Рис. 15. График изначальной функции электронной плотности (сплошная линия) и восстановленной (пунктирная линия) с шумом фаз и амплитуд по 50%


При добавлении шума по амплитуде пики для атомов четко различимы и при высоком уровне шума. При добавлении шума по фазе количество атомов различимо, но несколько пиков могут смещаться. Значительный шум по амплитуде и фазе одновременно (Рис. 15) помимо смещения правильных пиков добавляет неверные, которые интерпретировать как дополнительные атомы.

Неполные наборы гармоник


В экспериментах часто определяются амплитуды не для всех гармоник. Поэтому функция электронной плотности была восстановлена по неполному набору гармоник.
Удаление гармоники №0 изменяет функцию несильно (опускает график).
Удаление гармоник №0-1 приводит к появлению подобия синусоиды.
Если удалить 10% гармоник (2 из 20) из середины набора, пики атомов смещаются со своих изначальных позиций, наблюдается появление фоновых пиков.
Добавление к набору гармоники с номером выше 20, ни на что не влияло.

Рис. 16. Восстановление без гармоники №0


Рис. 17. Восстановление без гармоник №0-1


Рис. 18. Восстановление без гармоник №10-11


Рис. 19. Восстановление c с гармониками №1-20 и №30


Смоделируем более реальную ситуацию, скомбиноровав шум и неполноту набора гармоник (Рис. 20). Набдюдается небольшое смещение атомов относительно исходных позиций, и добавляются незначительные фоновые пики.

Рис. 18. Восстановление без гармоник №10-11 и с шумом амплитуд и фаз 10%
© Павел Волик
Факультет биоинженерии и биоинформатики, МГУ

Таблица 1. Обобщение рузультатов
набор гармоникPазрешение, ÅПолнота данных, %Шум амплитуды (% от F)Шум фазы (% от phi)Качество восстановления
0-5 6 Å100 %0 %0 %Плохое
0-10 3 Å100 %0 %0 %Среднее
0-15 2 Å100 %0 %0 %Хорошее
0-19 1,58 Å100 %0 %0 %Хорошее
0-20 1,5 Å100 %0 %0 %Отличное
0-20 1,5 Å100 %10 %0 %Отличное
0-20 1,5 Å100 %20 %0 %Отличное
0-20 1,5 Å100 %50 %0 %Отличное
0-20 1,5 Å100 %0 %10 %Отличное
0-20 1,5 Å100 %0 %20 %Отличное
0-20 1,5 Å100 %0 %50 %Отличное
0-20 1,5 Å100 %10 %10 %Отличное
0-20 1,5 Å100 %50 %50 %Среднее
1-20 1,58 Å95 %0 %0 %Отличное
2-20 1,67 Å90 %0 %0 %Отличное
1-20,30 1,43 Å70 %0 %0 %Отличное
1-9,11-20 1,67 Å90 %0 %0 %Отличное
1-9,11-20 1,67 Å90 %10 %10 %Отличное