Рисунок 1. Общий вид электронной плотности.

Восстановление функции ЭП по амплитудам и фазам части сигнала, в том числе и с шумом.

Я сравнил восстановление исходной функции ЭП из набора гармоник от 0 до n, где n принимало значения от 10 до 50. Здесь и далее отбор гармоник производился скриптом fourier-filter.py, а восстановление функции ЭП - fourier2func.py. Графики, полученные таким образом, представлены в таблице 1.

n=10

n=20

n=30

n=40

n=50

Таблица 1. Восстановление ЭП при разном количестве гармоник.

По первым 10 гармоникам можно определить только общие размеры молекул и их примерное положение, расположение отдельных атомов определить невозможно (плохое восстановление). По первым 20 гармоникам можно определить положение отдельных атомов, но значения максимумов функции существенно ниже исходных, а некоторые пики от шума можно принять за дополнительные атомы (хорошее восстановление). По первым 30 и более гармоникам положения атомов устанавливаются точно и однозначно, высота пиков почти соотвествует исходным значениям, а уровень шума очень низок (отличное восстановление). Я считаю, что n_0 (величина набора гармоник для точного восстановления) равно 30. Далее вся работа проводилась с набором гармоник 0-30. Я изучил, как введение шума меняет точность восстановления функции. В расчет коэффициентов Фурье был добавлен гауссовский шум к амплитудам или фазам (параметры –F и –P скрипта func2fourier.py). Результаты представлены в таблице 2.

P = 20

F = 20

F = 20, P = 20

Таблица 2. Восстановление ЭП при разном типе шума.

При рассмотрении изображений видно, что при шуме по амплитудам 20% уже сложно определить положение атомов. При введении шума по обоим параметрам сразу на уровнях шума 20% появляются ложные пики, сопоставимые по размерам с наименьшими из истинных. В общем, увеличение степени шума по фазам влияет на вид функции электронной плотности больше, чем увеличение степени шума по амплитудам.

Неполные наборы гармоник

Функцию электронной плотности по неполному набору гармоник важно уметь восстанавливать для оценки реального эксперимента, потому что не всегда удается измерить все амплитуды и фазы ряда Фурье. Восстановление функции ЭП по неполным наборам гармоник представлено в таблице 3.

n = 2-30

n = 0-17; 21-30

n = 0-30, 40

Таблица 3. Восстановление функции ЭП по неполному набору гармоник.

В целом, вид функции мало изменяется при удалении небольшого числа гармоник из любого места: положения пиков определяются достаточно точно, а уровень шума низок и не позволяет определить лишние атомы. Итоговое сравнение наборов гармоник представленно в таблице 4.

Таблица 4. Итоговое сравнение.