Восстановление структуры по "экспериментальным данным РСА" в одномерной модели

1. Задание функции

C помощью скрипта compile-func.py с параметрами:

-g 30,3,10+25,3.5,11.3+2,3,17.5+20,3,18.5+27,3.5,20

смоделирована функция электронной плотности для двух молекул из двух и трех атомов, находящихся на расстоянии 3 Å (Рис. 1). Это сумма 5 Гауссовых функций, где в каждом слагаемом первое из трех чисел отражает величину пика, второе - ширину, а третье - точку максимума. Скрипт выдает текстовый файл с функцией электронной плотности.

Рис. 1. График функции ЭА по полному набору гармоник для двух молекул (2 и 3 атома)

2. Расчет амплитуд и фаз сигналов, моделирующих экспериментальные данные

Полученный на предыдущем этапе файл подается на вход (параметр –i <file>) скрипту func2fourier.py, который выдет файл func_ft.txt, содержащий значения амплитуд (F) и фаз (phi) для 499 гармоник (то есть коэффициенты Фурье), дающих при суммировании приближение исходной функции.

2.1 Отбор гармоник

Отбор гармоник осуществлялся с помощью скрипта fourier-filter.py (параметром -r указаны номера гармоник, которые оставляем), входным файлом которого (параметр –i <file>) является текстовый файл, полученный после выполнения скрипта func2fourier.py.

3. Восстановление функции ЭП по амплитудам и фазам части сигналов

Восстановление функции по отобранным гармоникам производилось скриптом fourier2func.py, который принимает (параметр –i <file>) текстовый файл отобранных гармоник (func_ft.txt или func_ft_filtered.txt, если отбор проводился скриптом fourier-filter.py) и выдает файлы с исходной и восстановленной функцией, а также рисует соответствующие графики электронной плотности (рис. 2-). 

Полные наборы гармоник без шума

Для рассмотрения влияние количества гармоник был произведен отбор гармоник от 0 до k-й (5 < k < 50) с помощью скрипта fourier-filter.py. Затем были восстановлены функции электронной плотности, чьи графики изображены на рисунке 2.

Рис. 2. Функция ЭП, восстановленная по первым гармоникам от 0 до k-й; значение k указано на каждом графике

Видно, что при увеличении количества гармоник до 40, достигается отличное восстановление. Качество восстановления функции ЭП и минимальное количество гармоник для отличного восстановления в основном зависит от возможности идентифицировать маленький пик, соответствующий атому водорода.

Далее вся работа будет проводиться с набором гармоник 0-40 (будем считать его полным).

Полные наборы гармоник с шумом

На рисунках 3 и 4 представлены полные наборы гармоник с добавлением Гауссового шума к амплитудам (параметр -F <percent>) и фазам (параметр  -P <percent>).

Рис. 3. Функция ЭП, восстановленная по полному набору гармоник, с добавлением 10% шума к амплитудам (свурху слева), к фазам (сверху справа) и к обоим параметрам (снизу)

Рис. 4. Функция ЭП, восстановленная по полному набору гармоник, с добавлением 20% шума к амплитудам (слева), к фазам (посередине) и к обоим параметрам (справа)

По графикам видно, что добавление шума к одному из параметров сказывается на качестве восстановления меньше, чем при добавлении к обоим. Также зашумление фаз сильнее ухудшает качество восстановления, чем зашумление амплитуд, поскольку приводит к сдвигу пиков (координат атомов) и увеличению уровня шума.

Неполные наборы гармоник

Для моделирования этой ситуации были использован исходный набор из 499 гармоник, из которого выборочно брались разные множества гармоник: 2-40, 4-40, 0-18+22-40, 0-40+50. Результаты представлены на рисунках 5.

Рис. 5. Функция ЭП, восстановленная по неполному набору гармоник: 2-40, 4-40, 0-18+22-40 (сверху - вниз)

Видно, что удаление гармоник с меньшим номером сильнее влияет на аппроксимацию, чем отсутствие гармоник из середины или конца.

На рис. 6 изображен результат восстановления плотности по всем гармоникам от 0 до 40 и добавленной одной гармоники с номером на 10 больше (50). Принципиальных изменений, как видно, не произошло.

Рис. 6. Функция ЭП, восстановленная по набору гармоник от 0й до 40й с добавлением 50й

Итоговая таблица

Результаты по качеству восстановления функции электронной плотности из наборов гармоник, созданных в процессе выполнения практикума, указаны в сводной таблице №1.