Ряд Фурье фукнции электронной плотности

Задание функции

Смоделируем ситуацию, когда на отрезке [0,30] расположены две молекулы, состоящие из 5 атомов. Атомы связаны ковелентно и находятся на расстоянии 1-1.5 Å друг от друга, а молекулы - примерно 5Å. Электронные плотности атомов описываются гаусовской кривой. Максимум электронной плотности в центре атома примерно пропорционален числу электронов в атоме.
Для создания функции электронной плотности атомов использовался скрипт compile-func.py cо значениями max в точках 4.3, 16, 6, 25, 13; высотой 27, 15, 7, 2.
Итогом работы скрипта является текстовый файл.

Рис.1: График заданной функции ЭП

Полный набор гармоник

Получить полных набор гармоник можно:

1. Рассчитав коэффициенты разложения функции в ряд Фурье, содержащиеся в func_ft.txt амплитуды и фазы гармоник.
2. Отобрав гармоники с помощью скрипта fourier-filter.py в 4х разных случаях (0-13, 0-26, 0-39, 0-52).
3. Восстановив для каждого случая функцию.

Рис.2: График восстановленной функции ЭП для n=13, изображенная красным, и исходная функция - черным.
Рис.3: График восстановленной функции ЭП для n=26, изображенная красным, и исходная функция - черным.
Рис.4: График восстановленной функции ЭП для n=39
Рис.5: График восстановленной функции ЭП для n=52

Значение n₀ было определено 52. Восстановление для n= 13 и n=26 можно определить как "среднее" ( положение 3х из 5 атомов можно определить); n= 39 и n=52 - "отличное" восстановление, так как можно определить положение максимумов всех атомов (изображения для сравнения исходной функции и восстановленной для 39 и 52).

Добавление шума

К полученным результатам добавлялось 48% шума к амплитуде и 14% к фазе и восстановление функции проводили по полному набору гармоние 0 - n₀.

Рис.6: График восстановленной функции ЭП c 48%-ным уровнем шума амплитуды, изображенная красным, и исходная функция - черным.
Рис.7: График восстановленной функции ЭП c 14%-ным уровнем шума фазы, изображенная красным, и исходная функция - черным.
Рис.8: График восстановленной функции ЭП c 48%-ным уровнем шума амплитуды и 14% уровнем шума фазы.

Как и следовало ожидать, высокий уровень шума, добаленный к амплитуде, ухудшает уровень восстановления с "отличного", до "плохого", так как после изменений уже невозможно различить не только расположение атомов, но даже их количество.Такой же результат был получен и для случая шума фазы, если же рассматривать исход эксперимента с шумом и амплитуды и фазы, то, возможно, интерпретация этих данных будет невозможна без дополнительных манипуляций.

Неполный набор гармоник

Чтобы получить неполных набор гармоник удалили одну и две начальные гармоники (1-52; 2-52).

Рис.9: График восстановленной функции ЭП с удаленной 0-ой гармоники изображен красным, а исходная функция - черным.

При удалении первой гармоники (0-ой) восстановленная функция имеет "отличный" результат восстановления, однако параллельно сдвинутый вниз по оси ординат. Данный исход объясняется тем, что первый член ряда фурье ( первая гармоника) отвечает за сдвиг графика.

Рис.10: График восстановленной функции ЭП с удаленной 0-ой и 1-ой гармоники, изображен красным, а исходная функция - черным.

При удалении первых двух гармоник восстановление функции также имеет "отличную" оченку, однако наблюдается выгиб в центральной части.

Другим способом получить неполный набор гармоник является удаление гармоник из середины наборы, а именно удаление 5-10% от полного набора. Для получения были сначала удалены 25 и 28 гармоники; 23,26 и 31 гармоники; и с 23 по 28.

Рис.11: График восстановленной функции ЭП с удаленными 25 и 28 гармониками, изображенная красным, и исходная функция - черным.

Рис.12: График восстановленной функции ЭП с удаленными 23, 26 и 31 гармониками, изображенная красным, и исходная функция - черным.

Рис.13: График восстановленной функции ЭП с удаленными с 23 по 28 гармониками, изображенная красным, и исходная функция - черным.

Чем больше гармоник было удалено в середине набора, тем хуже качество восстановления функции ЭП по сравнению с исходной функцией. Следовательно, при исключении гармоник в середине набора шум начинает приближается по значениям к максимумам функций, что затрудняет описание.

Если удалить гармонику с номером n₀+10, то есть 62, то значительного ухудшения или улучшения не наблюдается.

Рис.14:График восстановленной функции ЭП с добавленной 62 гармоникой.

По результатам проделанной работы можно полностью заполнить таблицу:

Набор гармоник	Разрешение,(Å)	Полнота данных,(%)	Шум амплитуды,(% от величины F)	Шум фазыб(% от величины phi)	Качество восстановления,(отличное, хорошее, среднее, плохое)
Полный набор гармоник
0-13	2.3< /td>	100	0	0	среднее
0-26	1.15	100	0	0	среднее
0-39	0.77	100	0	0	отличное
0-52	0.58	100	0	0	отличное
0-52	0.58	100	48	0	плохое
0-52	0.58	100	0	14	плохое
0-52	0.58	100	48	14	плохое
Неполный набор гармоник
1-52	0.58	98	0	0	отличное
2-52	0.58	96.15	0	0	хорошое
0-24,26-27,29-52	0.58	96.15	0	0	среднее
0-22,24-25,27-30,32-52	0.58	94.23	0	0	плохое
0-22,29-52	0.58	88.46	0	0	плохое
0-52,62	0.58	100	0	0	отличное