Практикум 3.Фурье
Изучение качества восстановленной функции ЭП
от одной переменной в зависимости от того, какие и сколько гармоник ряда Фурье используются для ее восстановления
Задание включало несколько этапов:
1)Создание модельной функции ЭП в одномерной элементарной ячейке
2)Расчет параметров сигнала, моделирующих экспериментальные данные: амплитуды и фазы
3)Восстановление функции ЭП по модельным ("экспериментальным") данным
4)Оценка качества восстановления функции ЭП
1. Создание модели.
Была смоделирована функция электронной плотности
для одномерной элементарной ячейки на отрезке 0-30 ангстрем.
Модель сосояла из двух гипотетических молекул (2 атома и 3 атома).
Данная модель была создана командой:
!python compile-func.py --segment 0,30,1000 -o func.txt --gausses 30,3,11+40,3,12.3+2,3.5,16.5+30,3,17.5+15,4,18.8
Координаты центров атомов - 11, 12.3, 16.5, 17.5, 18.8; высоты пиков - 30, 40, 2, 30, 15. Маленький пик
соответсвует атому водорода
Рис.1 Изображение функции электронной плотности модели.
Техническое описание:
Сначала строится ЭП в одномерной ячейке
с параметрами указанными выше. Затем с помощью скрипта func2fourier.py
производится разложение построенной функции в ряд Фурье
(входным файлом для данного скрипта является текстовый файл,
созданный скриптом compile-func.py)
Также с помощью этого скрипта проводилось добавление шума к амплитудам (параметр -F) и фазам
(параметр -P)
Полученные амплитуды и фазы записываются в отдельный файл. Затем применяется
скрипт fourier-filter.py, параметр retain указывает те строки,которые не нужно комментировать.
Результат отбора гармоник записывается также в отдельный файл. В дальнейшем скрипт fourier2func.py
восстановливает функцию только по выбранным значениям. Выдачей последнего скрипта служит
файл, содержащий значения исходной
и восстановленной функций электронной плотности. Полученный данные были визуализированы.
2. Восстановление функции электронной плотности по полному набору гармоник
Полные наборы гармоник без шума (указано количество гармоник и график функции электронной плотности)
| Количество гармоник |
0-10 |
0-20 |
0-30 |
0-40 |
| Изображение |
 |
 |
 |
 |
По сумме первых 11 гармоник воспроизвести функцию не удается. По сумме первых 21 уже вполне неплохо различимы тяжелые атомы.
По сумме 31 гармоники качество можно считать отличным, так как в принципе все атомы можно различить
Таблица 1. Восстановление функции электронной плотности по количеству гармоник
3. Восстановление функции электронной плотности с учетом шума
Добавление шума к фазам - Р.
Добавление шума к амплитудам - F.
Рис.2 Восстановление функции электронной плотности с учетом шума
Как видно по рисункам, шум на уровне 20 не очень сильно искажает график. На уровне 40 качество заметно становится хуже, при
чем шум за счет фаз вносит больший вклад нежели шум от амплитуд.
4. Восстановление функции электронной плотности по неполному набору гармоник
a) Без начальных
Рис.3 Восстановление функции электронной плотности с набором 1-40 гармоник
Рис.4 Восстановление функции электронной плотности с набором 2-40 гармоник
В результате удаления первых гармоник наблюдается смещение графика по оси ординат, при этом пики соответсвующие атомам
молекулы хорошо различимы.
б) Без средних
Рис.5 Восстановление функции электронной плотности с набором гармоник 0-15 и 19-40.
В результате удаления 16, 17 и 18 гармоник наблюдается появление некоего шума,
при этом легкий атом уже не различить, в то время как тяжелые атомы хорошо различимы.
в) С добавлением n_0+10 гармоники
Рис.6 Восстановление функции электронной плотности с набором гармоник 0-40 и 50.
На графике заметно появление небольшой ряби, которая не мешает распознаванию атомов.
Правило определения разрешения для набора гармоник Фурье,
по которым восстанавливается функция: если набор гармоник полный, то
разрешением называют период гармоники с наименьшим разрешением. Если же в наборе присутствуют
не все гармоники, то сначала определяют понятие полноты набора гармоник.
Полнота набора - процент померенных гармоник с разрешением большим d среди полного набора гармоник.
Критерии оценки качества восстановленной функции
Отличное восстановление – по графику восстановленной функции можно определить положение максимума
всех гауссовых слагаемых функции ("атомов")
Хорошее восстановление – можно угадать положение всех максимумов, зная число слагаемых
("атомов"), хотя на восстановленной функции максимумы от атомов не отличимы от шума
Среднее восстановление – положение каких-то атомов определить по восстановленной функции нельзя, других - можно
Плохое восстановление – положение атомов определить не представляется возможным; можно только предсказать
примерный размер "молекулы"
5. Итоговая таблица
Таблица 1. Восстановление функции по коэффициентам ряда Фурье
| Набор гармоник |
Разрешение (ангстрем) |
Полнота данных (%) |
Шум амплитуды (% от величины F) |
Шум фазы (% от величины phi) |
Качество восстановления (отличное, хорошее, среднее, плохое) |
| Полный набор гармоник |
| 0-10 |
4 |
100 |
0 |
0 |
Плохое |
| 0-20 |
2 |
100 |
0 |
0 |
Среднее |
| 0-30 |
1.3 |
100 |
0 |
0 |
Хорошее |
| 0-40 |
1 |
100 |
0 |
0 |
Отличное |
| 0-40 |
1 |
100 |
20 |
0 |
Хорошее |
| 0-40 |
1 |
100 |
40 |
0 |
Среднее |
| 0-40 |
1 |
100 |
0 |
20 |
Среднее |
| 0-40 |
1 |
100 |
0 |
40 |
Среднее |
| 0-40 |
1 |
100 |
20 |
20 |
Среднее |
| 0-40 |
1 |
100 |
40 |
40 |
Среднее |
| Неполный набор гармоник |
| 1-40 |
1 |
97.5 |
0 |
0 |
Отличное |
| 2-40 |
1 |
95 |
0 |
0 |
Отличное |
| 0-15,19-40 |
1 |
93 |
0 |
0 |
Хорошее |
| 0-20,24-40 |
1 |
93 |
0 |
0 |
Среднее |
| 0-40,50 |
1 |
100 |
0 |
0 |
Отличное |