Восстановление электронной плотности

На отрезке [0,30] (ангстремы) расположены две молекулы. Две молекулы (всего 5 атомов) расположены на расстоянии ~ 5 ангстрем. Электронные плотности (ЭП) атомов описываются гауссовой кривой. Максимум ЭП в центре атома приблизительно пропорционален числу электронов в атоме. Функция электронной плотности атомов на этом отрезке была задана с помощью скрипта compile-func.py:

compile-func.py -g 15,3.5,3.8+25,3.5,5.3+35,3.5,7.5+40,3,9.5+50,3,2

На выходе скрипта получаем текстовый файл func.txt, в котором заданы пары (Х,Y) функции. Так же скрипт выдает график функции ЭП, который приведен ниже.

График электронной плотности для заданной молекулы

Полные наборы гармоник

• Расчёт коэффициентов Фурье

Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье были получены с помощью скрипта func2fourier.py:

func2fourier.py -i func1.txt -o fourier1.txt

В выходном файле fourier1.txt приведены номер каждой гармоники, её амплитуда и фаза.

• Отбор гармоник и восстановление функций

Было получено 499 гармоник. Далее нужно было определить n0 - число гармоник, при котором восстановление отличное. Проверялись n0 =1, 10, 20, 30, 40, 60. Ниже представлены графики, показывающие восстановленные функции электронной плотности. n0 было определенно равным 40.

Чтобы определить минимальный необходимый для восстановления функции набор гармоник n0, использовался скрипт fourier-filter.py. Набор команд:commands.txt.



n0=1.



n0=10.



n0=20.



n0=30.



n0=40.



n0=60.

Восстановление для n0 = 1, n 0= 10 является плохим, так как положение атомов определить невозможно. При n0 = 20 можно определить положение лишь некоторых атомов, при n0 = 30 по восстановленной функции можно угадать положение всех максимумов, зная число слагаемых, однако на восстановленной функции максимумы некоторых «атомов» плохо отличимы от шума. При n0 = 40 можно определить положение максимума всех гауссовых слагаемых функции, что говорит об отличном восстановлении. Использование больших значений n0 для полных наборов гармоник позволяет ещё более точно восстановить исходную функцию (n0 = 60).

• Добавление шума

К амплитудам и фазам был добавлен шум (параметры -F и P скрипта func2fourier.py соответственно). Графики электронных плотностей, восстановленных по полному набору гармоник (n0=40) с шумом представлены ниже.

Список команд:commands1.txt



Шум -F 20



Шум -P 20



Шум -F 10 -P 10

Таким образом, можно заметить, что качество восстановления заметно снизилось.

Неполные наборы гармоник

• Удаление начальных гармоник

Для получения неполного набора гармоник удалили одну и две начальные гармоники. Список команд: commands2.txt.



Удаление первой гармоники n=0



Удаление гармоник n=0 и n=1

В обоих случаях восстановление отличное, но при удалении двух гармоник функция заметно искажается, значения максимумов можно однозначно определить

• Удаление гармоник из середины набора

Из набора удалили гармоники с номерами 29-30 (5%) и гармоники с номерами 21-24(10%). Список команд: commands3.txt.



Уаление 29-30 гармоник



Удаление 21-24 гармоник

В обоих случаях качество восстановления становится средним.При этомвследствие удаления гармоник в середине набора максимумы от «атомов» становятся менее отличимы от шума.

• Добавление гармоники n0+10

К набору добавили гармонику с номером 50. Список команд: commands4.txt



Добавление гармоники n0+10

Результат практически не отличается от того, что получается при восстановлении по полному набору гармоник.

Определение разрешения и полноты данных

По результатам анализа восстановления от исходных данных была заполнена таблица ниже.

Для полного набора гармоник разрешение определяется как период гармоники с наибольшим номером. Тогда, например, разрешение для полного набора гармоник 0, 1, ..., 40 равно 30 ангстрем / 40 = 0,75 ангстрем (в данном компьютерном эксперименте). Полнота данных вычисляется как процент гармоник в наборе, период которых не меньше разрешения, от числа гармоник в полном наборе для этого разрешения. Для полного набора полнота данных равна 100%.

Для неполного набора гармоник разумно всегда указывать, помимо разрешения, полноту данных. Так, для набора гармоник 0, 1, ..., 40, 50 разрешение можно определить равным ~0,60 ангстрем при полноте данных 80%. Однако более «справедливым» выглядит разрешение ~0,75 ангстрем при полноте данных 100%. Таким образом, при указании разрешения для неполного набора гармоник видится разумным использование некоего условного порога на полноту данных (например, в 90%).