Задание функции
Для моделирования электронной плотности была выбрана модель, изображённая на рис. 1.
На основании данной модели была задана функция, описывающая линейную электронную плотность, с помощью скрипта compile-func.py командой:
python compile-func.py -g 10,2,10+30,2,11.5+30,2,17.5+10,2,20.5+10,2,12
Её график представлен на рисунке 2, а поточечные координаты - в файле func.txt
Разложение в ряд Фурье
Полученная функция была разложена по Фурье (на отрезке [0:30]) на 499 гармоник с помощью скрипта func2fourier.py командой:
python func2fourier.py -o func_ft.txt
Коэффициенты гармоник (амплитуды и фазы) представлены в файле
Восстановление функции электронной плотности по амплитудам и фазам
По полному набору гармоник была восстановлена первоначальная функция электоронной плотности с помощью скрипта fourier2func.py командой:
python fourier2func.py -f func.txt -i func_ft.txt
График восстановленной функции представлен на рисунке 3. График восстановленой функции не отличим от графика первоначальной функции, восстановление отличное. При таком количестве гармоник (499) разрешение составляет 0.06 Å
Чтобы приблизить условия компьютерного эксперимента к реальным, число гармоник было уменьшено до 25, дающих атомарное разрешение 1.2 A. Также было проведено восстановелние функции электронной плотности по 9 (низкое разрешение), 12 (среднее), 17 (высокое) и 35 (субатомное) гармоникам (см. рис. 5, 6, 7 и 8, соответственно).
Чтобы ещё более приблизить эксперимент к реальным данным к значениям коэффициентов гармоник был добавлен шум: к значениям амплитуд (см. рис. 9 и рис. 10), к значениям фаз (см. рис. 11 и рис. 12) и сразу и к амплитудам, и к фазам (см. рис. 12 и рис. 14).
В экспериментах часто определяются амплитуды не для всех гармоник, а для их части. Поэтому было смоделировано несколько ситуаций восстановления функции электронной плотности по неполному набору гармоник.
Если удалить первую (рис. 16) или первые 2 гармоники (рис. 17), то вид восстановленной функции меняется характерным образом, причём качество восстановления не падает (особенно для человеческого глаза). Если удалить 1 гармонику, то вся функция просто перенесётся ниже, а если удалить 2 - то из функции вычтется синусоида с большим периодом
Если удалить несколько 2 (рис. 18) или 3 (рис. 18) гармоник из середины, то восстановленная фукнция изменится куда сильнее. Эти изменения похожи на внесение шума к амплитудам и фазам одновременно, но более регулярные. Напрашивается вывод, что гармоники из середины несут в себе больше всего информации.
На данном этапе можно сказать, что последние гармоники являются "уточняющими" (чем их больше, тем точнее приближение), первые - "базовыми" (задающие положение базовой линии), а гармоники из середины - смысловыми. Ещё хочется отметить, что бороться с недостающими гармониками должно быть проще, чем с шумом, в виду их регулярности.
Если к данному набору гармоник добавить ещё одну, номер которой превышает на 10 номер последней из имеющихся, то это ровным счётом ничего не изменит (рис. 19)
Все полученные результаты отражены в таблице 1
Вывод
Высокий уровень шума фаз и большое количество недостающих гормоник из середины больше всего влияют на качество восстановления функции электронной плотности.