Словарь - типы матриц

• Простая - матрица, для которой геометрическая кратность ее собственных значений равна арифметической, то есть если какое-либо собственное значение этой матрицы имеет, например, кратность 2, то и пространство собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, тоже имеет размерность 2 (что необязательно: ПРИМЕР!). Матрица простая тогда и только тогда, когда она подобна диагональной.

  • Дефектная - непростая.

• Нормальная - такая матрица, что A*A = AA* (А^TA = AA^T в действительном случае). Нормальная и только нормальная диагонализуется унитарными преобразованиями, т.е. A = UDU*, где U - унитарная матрица, D - диагональная. Эрмитовы/симметричные и унитарные/ортогональные матрицы являются нормальными. (Теорема Шура обобщает эту схему, там доказывается, что для любой матрицы A = UTU*, где T-верхнетреугольная, то есть это как Жорданова нормальная форма обобщает спектральное разложение для дефектных матриц, так и Шур обобщает унитарное преобразование для не нормальных).

• Особая, вырожденная или сингулярная - среди строк/столбцов матрицы есть линейно зависимые. Определитель равен нулю. Не имеет обратной (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!).

• Симметричная/Эрмитова - A^T = A (A* = A). Матрица собственных векторов для нее - ортогональная. Собственные значения - действительные.

• Ортогональная/Унитарная - все векторы матрицы ортонормированные, т.е. (A,A)=1, (A,B) = 0. Следовательно, A^-1 = A^T (A^-1 = A*).

• Подобная - для матрицы B подобная ей - это любая матрица A = T ^-1BT. A и B имеют одинаковые собственные значения - они просто являются образами одного линейного преобразования в разных базисах.

• Положительно определенная - такая эрмитова матрица A, что для любых векторов x: x*Ax > 0. Все собственные значения положительны. (Спектральная теорема)

• Обратная

• Транспонированная/Эрмитово сопряженная

• Верхнетреугольная

• Диагональная

  • Разреженная - такая матрица, что большинство ее элементов - нули.

  • Плотная - не разреженная.

• Союзная, взаимная, присоединённая - транспонированная матрица алгебраических дополнений, то есть каждому элементу a_i,j в союзной соответствует A_j,i.