Определитель

Я предполагаю, что вам и так объясняли, что такое определитель и грузили его свойствами, только вы не поняли к чему это все и ради чего это надо вам, как чаще всего и бывает. Сходу могу сказать, что он бывает нужен в куче практических задач биологии и не только (здесь будут ссылки в будущее): для быстрого возведения матриц в произвольные степени, для вычисления объемов параллелепипедов, многомерных интегралов и т.д.
На всякий случай определение и свойства определителя: http://ru.wikipedia.org/wiki/Определитель.

При решении следующей задачи определитель возникает естественным образом (задача на первый взгляд не кажется очень практически значимой, хотя на самом деле является таковой):

Задача

Пусть дана система уравнений (ее называют однородной системой линейных уравнений)

5x + 3y + 6z = 0
2x + 4y + 3z = 0
4x + 7y + 9z = 0

Требуется определить, есть ли у системы решения (x, y, z), помимо (0, 0, 0).

Коротко ответ

Данной системе уравнений соответствует матрица

5 3 6
2 4 3
4 7 9

Если определитель матрицы равен нулю, то у системы есть решения помимо (0, 0, 0) (их называют нетривиальными), иначе - нет. Поэтому он и определитель.

Идея решения

Когда у системы будут нетривиальные решения? Если мы сможем привести хотя бы одно из уравнений к виду 0x + 0y + 0z = 0, то нетривиальные решения будут точно: ведь такое уравнение не накладывает ограничений на переменные, оно верно всегда, его как бы и нет совсем. Тогда мы имеем систему, по сути, из 2 уравнений с 3 неизвестными, что позволяет одну из переменных в решении задать произвольно, а 2 другие подобрать так, чтобы эти 2 уравнения были верны.

Метод Гаусса (то есть попросту решение системы уравнений как это делалось в школе) гарантирует, что если в системе можно получить одно или более уравнений вида 0x + 0y + 0z = 0, с помощью него мы их получим в самом низу системы, а если мы их не получили, то у системы нет нетривиальных решений.

Данную систему, метод Гаусса приводит к виду

5x + 3y + 6z = 0
0x + 14y + 3z = 0
0x + 0y + 225z = 0

Посмотрим на коэффициент при самой последней переменной - z - в самом последнем уравнении. Если он равен нулю, то уравнение будет иметь вид 0x + 0y + 0z = 0, что гарантирует наличие решений. Иначе и оно, и уравнения над ним не будут такими, а значит нетривиальных решений нет (это гарантируется методом Гаусса).

Коэффициент при z в последнем уравнении нашего примера равен 225, значит нетривиальных решений нет.

Так вот, определитель исходной матрицы, соответствующей исходной системе уравнений - это и есть поделенный на константу коэффициент при z в самом последнем уравнении, после того как систему привели к треугольному виду методом Гаусса. В данном примере определитель матрицы, соответствующей исходной системе уравнений, равен 225/5, то есть 45.

Почему так получается

Возьмем матрицу 4x4 с некоторыми коэффициентами.



Будем сводить ее к треугольному виду методом Гаусса. На первом шаге все ненулевые элементы получившейся матрицы, начиная со второй строки, являются определителями подматриц 2x2 в составе исходной (для примера один элемент и соответствующая матрица 2x2 обведены рамкой):

соответствует

Сделаем следующий шаг.



Теперь все ненулевые элементы матрицы, начиная с третьей строки, это определители подматриц 3x3 исходной, только домноженные на a (на примере в рамку обведен один элемент и соответствующая ему подматрица 3x3). Заметьте, что слагаемые, не содержащие a (beci и cebi), сокращаются :

соответствует

Таким же образом на последней итерации окажется, что в правом нижнем элементе будет стоять определитель всей исходной матрицы, только домноженный на a²(af-be).

Докажем, что мы всегда будем получать определители подматриц, обрабатывая матрицу произвольной размерности методом Гаусса. Делать это будем по индукции. База у нас есть - для первого шага это верно - мы имеем матрицы 2x2. Здесь будет скан рукописной картинки - в техе это рисовать убиться можно