Метод Гаусса
Вычитание уравнений друг из друга и умножение их на ненулевые коэффициенты не создает и не уничтожает решений, то есть наши преобразования равносильны. Не уничтожает потому, что если у старой системы было решение, то оно удовлетворяло вычтенному уравнению, а значит мы вычли ноль и у новой системы решение то же самое. Не создает потому, что если у новой системы есть решение, то можно превратить новую систему обратно в старую, прибавив вычтенное уравнение обратно, при этом мы не уничтожим решений, значит это решение было и у старой.
Будем постепенно сводить матрицу к верхнетреугольному виду. За первый шаг добьемся того, чтобы первые коэффициенты во всех уравнениях, кроме первого, равнялись нулю, за второй - все вторые коэффициенты во всех уравнениях, кроме первых двух и т.д. Здесь вообще-то могла бы возникнуть проблема: если на i-m шаге i-й коэффициент i-го уравнения равен 0, умножать на него нельзя:
0 1 2
3 4 5
6 7 8
(Здесь на 1-м шаге 1-й коэфф. 1-го ур. =0) Ну, тогда надо просто отправить это уравнение в самый конец, а на его место поднять уравнение с ненулевым первым коэффициентом:
3 4 5
6 7 8
0 1 2
А если все коэффициенты при x во всех уравнения равны нулю?
0 1 2
0 3 4
0 5 6
Тогда надо отправить столбец коэффициентов при x в самый конец:
1 2 0
3 4 0
5 6 0
Впрочем, если он состоит из сплошных нулей, то это гарантирует нам наличие нетривиальных решений, ведь придется делать на один шаг меньше:
1 2 0
0 -2 0
0 -4 0
1 2 0
0 -2 0
0 0 0
Если придерживаться этой схемы, то получается, что если мы получили нулевой элемент на главной диагонали, то все элементы главной диагонали после него тоже будут нулевые.
Допустим, триангуляризация дошла до конца и в последнем элементе последнего столбца стоит не ноль, тогда нулей нет и во всех элементах на главной диагонали:
1 2 3
0 5 6
0 0 9
Тогда можно свести матрицу к диагональному виду:
1 0 0
0 5 0
0 0 9
А теперь уже очевидно, что нетривиальных решений нет. Поскольку все преобразования, которые мы делали, равносильны, то и у исходной системы нет нетривиальных решений.